💡 10. Sınıf Matematik: Birim çember Çözümlü Örnekler

Birim çember üzerindeki her \(P(x, y)\) noktası için koordinatların kareleri toplamı \(1\) olmak zorundadır. Yani genel denklemimiz:

• Verilen noktayı denklemde yerine yazalım: \(x^2 + (\frac{3}{5})^2 = 1\)
• Kare alma işlemini yapalım: \(x^2 + \frac{9}{25} = 1\)
• \(\frac{9}{25}\) ifadesini karşı tarafa atalım: \(x^2 = 1 - \frac{9}{25}\)
• Payda eşitleyerek çıkarma işlemini yapalım: \(x^2 = \frac{16}{25}\)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \(x = \frac{4}{5}\) veya \(x = -\frac{4}{5}\)

💡 Önemli İpucu: Soruda noktanın birinci bölgede olduğu belirtilmiştir. Birinci bölgede apsis (\(x\)) değeri pozitif olmalıdır. Bu yüzden:

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları \(x^2 + y^2 = 1\) eşitliğini sağlamak zorundadır.

• Noktanın koordinatlarını denklemde yerine yazalım: \((-\frac{1}{2})^2 + y^2 = 1\)
• Karesini hesaplayalım: \(\frac{1}{4} + y^2 = 1\)
• \(\frac{1}{4}\) ifadesini karşıya gönderelim: \(y^2 = 1 - \frac{1}{4}\)
• Çıkarma işlemini yapalım: \(y^2 = \frac{3}{4}\)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\) veya \(y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

📌 Bölge Analizi: Noktamız üçüncü bölgede yer almaktadır. Üçüncü bölgede ordinat (\(y\)) değeri negatif olmak zorundadır. Bu nedenle:

Merkezi orijinde olan birim çemberin standart denklemi şu şekildedir:

Bu denklemin sağlanabilmesi için \(x^2\) ve \(y^2\) terimlerinin katsayılarının kesinlikle \(1\) olması gerekir.

• \(x^2\) teriminin katsayısını \(1\) yapalım:
  \(a - 3 = 1 \implies a = 4\)
• \(y^2\) teriminin katsayısını \(1\) yapalım:
  \(b - 4 = 1 \implies b = 5\)
• Bizden istenen \(a + b\) toplamını hesaplayalım:
  \(a + b = 4 + 5 = 9\)

Görüldüğü üzere, birim çember tanımını kullanarak katsayıları eşitledik ve sonuca ulaştık. Bilinmeyenlerin toplamı \(9\) olarak bulunur. 🎉

Aradığımız nokta \(P(k, k)\) olsun. Koordinatları birbirine eşit olduğu için hem apsis hem de ordinat değerine \(k\) dedik.

• Nokta birim çember üzerinde olduğundan koordinatlarının kareleri toplamı \(1\) olmalıdır:
  \(k^2 + k^2 = 1\)
• İfadeleri toplayalım: \(2k^2 = 1\)
• Her iki tarafı \(2\)ye bölelim: \(k^2 = \frac{1}{2}\)
• Karekök alalım: \(k = \frac{1}{\sqrt{2}}\) veya \(k = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)

👉 Noktamız birinci bölgede olduğu için koordinatlar pozitif olmalıdır. Bu yüzden \(k = \frac{1}{\sqrt{2}}\) değerini seçeriz. Paydayı rasyonel yapmak için \(\sqrt{2}\) ile genişletiriz:

O halde aradığımız nokta:

Nokta birim çember üzerinde olduğuna göre en temel kuralımızı yazalım:

Bu eşitliği kullanarak \(a^2\) terimini yalnız bırakalım:

• Bizden istenen ifadede \(a^2\) yerine bulduğumuz değeri yazalım:
  \(2(1 - b^2) + 5b^2\)
• Parantezi dağıtalım:
  \(2 - 2b^2 + 5b^2 = 2 + 3b^2\)
• Birim çember üzerinde bir noktanın ordinatı olan \(b\) değeri en fazla \(1\), en az \(-1\) olabilir. Dolayısıyla \(b^2\) ifadesinin alabileceği en büyük değer \(1\)dir.
• İfadenin en büyük değerini bulmak için \(b^2 = 1\) yazalım:
  \(2 + 3(1) = 5\)

Böylece \(2a^2 + 5b^2\) ifadesinin alabileceği en büyük değer \(5\) olarak hesaplanır. 🌟

Analitik geometride bir noktanın eksenlere olan uzaklık tanımlarını hatırlayalım:

• Bir noktanın y-eksenine olan uzaklığı, apsisinin mutlak değeridir: \(|x| = \frac{\sqrt{5}}{3}\)
• Bir noktanın x-eksenine olan uzaklığı ise ordinatının mutlak değeridir: \(|y|\)

• Nokta birim çember üzerinde olduğundan: \(x^2 + y^2 = 1\)
• \(|x| = \frac{\sqrt{5}}{3}\) ise karesi: \(x^2 = \frac{5}{9}\) olur.
• Bu değeri denklemde yerine yazalım: \(\frac{5}{9} + y^2 = 1\)
• \(y^2\) değerini yalnız bırakalım: \(y^2 = 1 - \frac{5}{9} \implies y^2 = \frac{4}{9}\)
• Her iki tarafın karekökünü alarak mutlak değerce \(y\)yi bulalım: \(|y| = \frac{2}{3}\)

🎯 Noktanın x-eksenine olan uzaklığı \(|y|\) olduğuna göre, aranan uzaklık \(\frac{2}{3}\) birimdir. ✅

Radar ekranı birim çember olarak modellendiği için üzerindeki her nokta \(x^2 + y^2 = 1\) denklemini sağlamalıdır.

• \(F(a, -\frac{1}{2})\) noktasının koordinatlarını denklemde yerine yazalım:
  \(a^2 + (-\frac{1}{2})^2 = 1\)
• Karesini alalım: \(a^2 + \frac{1}{4} = 1\)
• Karşıya atıp çıkaralım: \(a^2 = \frac{3}{4}\)
• Karekök alalım: \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\) veya \(a = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

🚢 Bölge Bilgisi: Radar ekranında deniz fenerinin dördüncü bölgede olduğu belirtilmiştir. Dördüncü bölgede yatay eksen yani apsis (\(a\)) pozitif olmalıdır. Bu nedenle:

Bir noktanın birim çember üzerinde olup olmadığını anlamak için koordinatlarının kareleri toplamını kontrol etmeliyiz. Eğer toplam \(1\) ise nokta çember üzerindedir, değilse üzerinde değildir.

• Apsis değerinin karesini alalım:
  \((\frac{\sqrt{7}}{4})^2 = \frac{7}{16}\)
• Ordinat değerinin karesini alalım:
  \((\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\)
• Bu iki kareyi toplayalım:
  \(\frac{7}{16} + \frac{9}{16} = \frac{16}{16} = 1\)

💡 Sonuç: Kareler toplamı tam olarak \(1\) çıktığı için \(C(\frac{\sqrt{7}}{4}, \frac{3}{4})\) noktası birim çember üzerindedir. ✅