💡 10. Sınıf Fizik: İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket Çözümlü Örnekler

Bu tür sorularda, iki boyutlu hareketi yatay ve düşey olmak üzere iki bağımsız bileşene ayırırız.
👉 Düşey Hareket Analizi:

• Cisim yatay atıldığı için ilk düşey hızı \( v_{0y} = 0 \) 'dır.
• Cisim, yer çekimi ivmesi \( g \) etkisiyle aşağı yönde hızlanır. Bu, serbest düşmeye benzer bir harekettir.
• Yüksekliği \( h = 45 \text{ m} \) olarak verilmiştir.
• Düşey yer değiştirme formülü: \( h = v_{0y} \times t + \frac{1}{2} \times g \times t^2 \)

Şimdi değerleri formülde yerine koyalım:

\[ 45 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \] \[ 45 = 5 times t^2 \]

Her iki tarafı 5'e bölelim:

\[ t^2 = \frac{45}{5} \] \[ t^2 = 9 \]

Her iki tarafın karekökünü alalım:

\[ t = \sqrt{9} \] \[ t = 3 \text{ s} \] ✅ Buna göre, cismin yere düşme süresi 3 saniyedir.

İlk örneğimizden cismin yere düşme süresini \( t = 3 \text{ s} \) olarak bulmuştuk. Şimdi yatayda aldığı yolu ve yere çarpma hızını hesaplayalım.
👉 Yatay Hareket Analizi:

• Yatay doğrultuda hava sürtünmesi ihmal edildiği için cisme etki eden bir kuvvet yoktur, bu nedenle yatay hız sabittir.
• Yatay ilk hız \( v_{0x} = 20 \text{ m/s} \) olarak verilmiştir.
• Yatayda alınan yol (menzil) \( x = v_{0x} \times t \) formülüyle bulunur.

Değerleri yerine koyarsak:

\[ x = 20 \text{ m/s} \times 3 \text{ s} \] \[ x = 60 \text{ m} \]

✅ Cisim yatayda 60 metre yol almıştır.

👉 Yere Çarpma Hızı Analizi:

Yere çarpma anındaki hız, yatay ve düşey hız bileşenlerinin vektörel toplamıdır.

• Yatay hız \( v_x = v_{0x} = 20 \text{ m/s} \) (sabit kalır).
• Düşey hız \( v_y = v_{0y} + g \times t \) formülüyle bulunur. İlk düşey hız \( v_{0y} = 0 \) olduğu için:

\[ v_y = 0 + 10 \text{ m/s}^2 \times 3 \text{ s} \] \[ v_y = 30 \text{ m/s} \]

Yere çarpma anındaki hızın büyüklüğü \( V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \) Pisagor bağıntısı ile bulunur:

\[ V = \sqrt{(20)^2 + (30)^2} \] \[ V = \sqrt{400 + 900} \] \[ V = \sqrt{1300} \] \[ V \approx 36.06 \text{ m/s} \] ✅ Cisim yere yaklaşık \( 36.06 \text{ m/s} \) hızla çarpar.

Bu bir eğik atış hareketidir. Hızı yatay ve düşey bileşenlerine ayırarak çözüme başlayalım.
👉 İlk Hız Bileşenleri:

• Yatay ilk hız: \( v_{0x} = v_0 \times \cos 37^\circ = 50 \times 0.8 = 40 \text{ m/s} \)
• Düşey ilk hız: \( v_{0y} = v_0 \times \sin 37^\circ = 50 \times 0.6 = 30 \text{ m/s} \)

👉 Maksimum Yükseklik Analizi:

Cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında düşey hızı \( v_y = 0 \) olur. Bu noktaya kadar geçen süreye çıkış süresi \( t_{\text{çıkış}} \) diyelim.

• Düşey hız formülü: \( v_y = v_{0y} - g \times t_{\text{çıkış}} \)

\[ 0 = 30 - 10 times t_{\text{çıkış}} \] \[ 10 times t_{\text{çıkış}} = 30 \] \[ t_{\text{çıkış}} = 3 \text{ s} \]

Şimdi maksimum yüksekliği \( h_{\text{maks}} \) bulalım. Bunun için düşey yer değiştirme formülünü kullanabiliriz:

\[ h_{\text{maks}} = v_{0y} times t_{\text{çıkış}} - \frac{1}{2} times g times t_{\text{çıkış}}^2 \] \[ h_{\text{maks}} = 30 times 3 - \frac{1}{2} times 10 times (3)^2 \] \[ h_{\text{maks}} = 90 - 5 times 9 \] \[ h_{\text{maks}} = 90 - 45 \] \[ h_{\text{maks}} = 45 \text{ m} \] ✅ Cismin çıkabileceği maksimum yükseklik 45 metredir. 👉 Toplam Uçuş Süresi Analizi:

Eğik atışta, cismin yerden maksimum yüksekliğe çıkış süresi ile maksimum yükseklikten yere iniş süresi eşittir (hava sürtünmesi ihmal edildiğinde). Bu nedenle toplam uçuş süresi \( t_{\text{toplam}} = 2 \times t_{\text{çıkış}} \) olur.

\[ t_{\text{toplam}} = 2 times 3 \text{ s} \] \[ t_{\text{toplam}} = 6 \text{ s} \] ✅ Cismin toplam uçuş süresi 6 saniyedir.

Bu soruda bize çıkış süresi ve yatay menzil bilgisi verilmiş. Fırlatma hızını bulmak için bu bilgileri kullanacağız.
👉 Düşey Hareketten İlk Hızı Bulma:

• Maksimum yüksekliğe çıkış süresi \( t_{\text{çıkış}} = 0.4 \text{ s} \) olarak verilmiş.
• Maksimum yükseklikte düşey hız \( v_y = 0 \) olur.
• Düşey hız formülü: \( v_y = v_{0y} - g \times t_{\text{çıkış}} \)

Değerleri yerine koyarsak:

\[ 0 = v_{0y} - 10 times 0.4 \] \[ 0 = v_{0y} - 4 \] \[ v_{0y} = 4 \text{ m/s} \]

Şimdi fırlatma hızının düşey bileşeni \( v_{0y} \) ile fırlatma hızı \( v_0 \) arasındaki ilişkiyi kullanalım:

\[ v_{0y} = v_0 times \sin 53^\circ \] \[ 4 = v_0 times 0.8 \]

Her iki tarafı 0.8'e bölelim:

\[ v_0 = \frac{4}{0.8} \] \[ v_0 = 5 \text{ m/s} \] ✅ Parçaların fırlatma hızının büyüklüğü 5 m/s olmalıdır. 👉 Ek Kontrol: Yatay Menzil (İstenirse)

Toplam uçuş süresi \( t_{\text{toplam}} = 2 \times t_{\text{çıkış}} = 2 \times 0.4 = 0.8 \text{ s} \).

Yatay ilk hız: \( v_{0x} = v_0 \times \cos 53^\circ = 5 times 0.6 = 3 \text{ m/s} \).

Yatay menzil: \( x = v_{0x} \times t_{\text{toplam}} = 3 times 0.8 = 2.4 \text{ m} \).

Soruda verilen hedef uzaklığı 80 cm = 0.8 m. Bu durumda parça hedefi vuramaz. Bu, sorunun "fırlatma hızı ne olmalıdır" kısmının sadece düşey hareketten çözülebileceğini, yatay menzil bilgisinin yanıltıcı olabileceğini gösterir veya hedefi vurması için açının ya da hızın farklı olması gerektiğini belirtir. Ancak soru sadece fırlatma hızını istediği için, verilen çıkış süresi bilgisi yeterlidir. Eğer hedefi vurması için hız sorulsaydı, bu hızda hedefi vuramayacağı ortaya çıkardı. Sorunun asıl amacı, hızın büyüklüğünü bulmaktır ve bu bilgi ile çözülmüştür. 💡

Bu örnek, eğik atışın günlük hayattaki bir uygulamasını göstermektedir. Suyun ilk fışkırma noktası yerden \( 1.5 \text{ m} \) yüksektedir.
👉 İlk Hız Bileşenleri:

• Yatay ilk hız: \( v_{0x} = v_0 \times \cos 45^\circ = 10 times 0.7 = 7 \text{ m/s} \)
• Düşey ilk hız: \( v_{0y} = v_0 \times \sin 45^\circ = 10 times 0.7 = 7 \text{ m/s} \)

👉 Maksimum Yükseklik Analizi (İlk Fırlatma Noktasına Göre):

Suyun fırlatma noktasından itibaren çıkabileceği ek yüksekliği \( h_{\text{ek}} \) bulalım. Bu yükseklikte düşey hız \( v_y = 0 \) olur.

Hız-yer değiştirme formülü: \( v_y^2 = v_{0y}^2 - 2 \times g \times h_{\text{ek}} \)

\[ 0^2 = (7)^2 - 2 times 10 times h_{\text{ek}} \] \[ 0 = 49 - 20 times h_{\text{ek}} \] \[ 20 times h_{\text{ek}} = 49 \] \[ h_{\text{ek}} = \frac{49}{20} \] \[ h_{\text{ek}} = 2.45 \text{ m} \] 👉 Yerden Maksimum Yükseklik:

Suyun fırlatıldığı nokta yerden \( 1.5 \text{ m} \) yüksekte olduğu için, suyun yerden ulaşabileceği toplam maksimum yükseklik \( H_{\text{maks}} \), fırlatma yüksekliği ile ek yüksekliğin toplamı olacaktır.

\[ H_{\text{maks}} = \text{Fırlatma Yüksekliği} + h_{\text{ek}} \] \[ H_{\text{maks}} = 1.5 \text{ m} + 2.45 \text{ m} \] \[ H_{\text{maks}} = 3.95 \text{ m} \] ✅ Suyun ulaşabileceği maksimum yükseklik yerden 3.95 metredir.

Bu soruda topun duvara çarpma anındaki düşey konumunu bulmamız gerekiyor.
👉 Duvara Çarpma Anına Kadar Geçen Süre:

• Top yatayda \( 15 \text{ m/s} \) sabit hızla hareket ediyor.
• Duvar, atış noktasından yatayda \( 20 \text{ m} \) uzaklıkta.
• Yatayda alınan yol \( x = v_{0x} \times t \) formülüyle bulunur.

Bu formülü kullanarak duvara çarpma anına kadar geçen süreyi \( t \) bulalım:

\[ 20 = 15 times t \] \[ t = \frac{20}{15} \] \[ t = \frac{4}{3} \text{ s} \] 👉 Duvara Çarpma Anındaki Düşey Yer Değiştirme:

Topun ilk düşey hızı \( v_{0y} = 0 \) olduğu için, düşeyde aşağıya doğru aldığı yol \( \Delta y = \frac{1}{2} \times g \times t^2 \) formülüyle bulunur.

\[ \Delta y = \frac{1}{2} times 10 times \left(\frac{4}{3}\right)^2 \] \[ \Delta y = 5 times \frac{16}{9} \] \[ \Delta y = \frac{80}{9} \text{ m} \] \[ \Delta y \approx 8.89 \text{ m} \] 👉 Duvara Çarpma Anındaki Yerden Yükseklik:

Topun ilk yüksekliği \( h_0 = 40 \text{ m} \) idi. Duvara çarptığı anda, ilk yüksekliğinden \( \Delta y \) kadar aşağı inmiş olacaktır. Topun yerden yüksekliği \( h_{\text{duvar}} = h_0 - \Delta y \) formülüyle bulunur.

\[ h_{\text{duvar}} = 40 - \frac{80}{9} \]

Ortak paydada işlem yapalım:

\[ h_{\text{duvar}} = \frac{40 times 9}{9} - \frac{80}{9} \] \[ h_{\text{duvar}} = \frac{360 - 80}{9} \] \[ h_{\text{duvar}} = \frac{280}{9} \text{ m} \] \[ h_{\text{duvar}} \approx 31.11 \text{ m} \] ✅ Topun duvara çarptığı anda yerden yüksekliği yaklaşık \( 31.11 \text{ m} \)dir. (Bu yükseklik 5 metrelik duvarın yüksekliğinden büyük olduğu için top duvara çarpmıştır.)

Eğik atış hareketinde, hava sürtünmesi ihmal edildiğinde, maksimum yatay menzile ulaşmak için fırlatma açısı \( 45^\circ \) olmalıdır.
👉 Maksimum Menzil İçin Açı ve Hız Bileşenleri:

• Fırlatma açısı \( \theta = 45^\circ \).
• Fırlatma hızı \( v_0 = 20 \text{ m/s} \).
• \( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \).

İlk hız bileşenlerini hesaplayalım:

\[ v_{0x} = v_0 times \cos 45^\circ = 20 times 0.707 = 14.14 \text{ m/s} \] \[ v_{0y} = v_0 times \sin 45^\circ = 20 times 0.707 = 14.14 \text{ m/s} \] 👉 Uçuş Süresi Hesabı:

Cismin maksimum yüksekliğe çıkış süresi \( t_{\text{çıkış}} \) için düşey hızın sıfır olduğu anı bulalım:

\[ v_y = v_{0y} - g times t_{\text{çıkış}} \] \[ 0 = 14.14 - 10 times t_{\text{çıkış}} \] \[ 10 times t_{\text{çıkış}} = 14.14 \] \[ t_{\text{çıkış}} = 1.414 \text{ s} \]

Toplam uçuş süresi \( t_{\text{toplam}} = 2 times t_{\text{çıkış}} \) olacaktır:

\[ t_{\text{toplam}} = 2 times 1.414 \text{ s} \] \[ t_{\text{toplam}} = 2.828 \text{ s} \] ✅ Maksimum menzile ulaşmak için uçuş süresi yaklaşık \( 2.83 \text{ s} \)'dir. 👉 Maksimum Menzil Hesabı:

Yatayda alınan yol (menzil) \( x_{\text{maks}} = v_{0x} times t_{\text{toplam}} \) formülüyle bulunur.

\[ x_{\text{maks}} = 14.14 \text{ m/s} times 2.828 \text{ s} \] \[ x_{\text{maks}} \approx 39.99 \text{ m} \]

Daha kesin bir hesaplama için \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) değerini kullanırsak:

\[ v_{0y} = 20 times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \text{ m/s} \] \[ t_{\text{çıkış}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2} \text{ s} \] \[ t_{\text{toplam}} = 2\sqrt{2} \text{ s} \] \[ v_{0x} = 20 times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \text{ m/s} \] \[ x_{\text{maks}} = v_{0x} times t_{\text{toplam}} = (10\sqrt{2}) times (2\sqrt{2}) \] \[ x_{\text{maks}} = 10 times 2 times (\sqrt{2} times \sqrt{2}) \] \[ x_{\text{maks}} = 20 times 2 \] \[ x_{\text{maks}} = 40 \text{ m} \] ✅ Maksimum menzil 40 metredir.

Bu, yatay atış hareketine bir günlük hayat örneğidir.
👉 Yere Düşme Süresi:

• Topun ilk düşey hızı \( v_{0y} = 0 \)'dır.
• Düşeyde aldığı yol (yükseklik) \( h = 1.25 \text{ m} \).
• Düşey yer değiştirme formülü: \( h = v_{0y} \times t + \frac{1}{2} \times g \times t^2 \)

Değerleri formülde yerine koyalım:

\[ 1.25 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 10 times t^2 \] \[ 1.25 = 5 times t^2 \]

Her iki tarafı 5'e bölelim:

\[ t^2 = \frac{1.25}{5} \] \[ t^2 = 0.25 \]

Her iki tarafın karekökünü alalım:

\[ t = \sqrt{0.25} \] \[ t = 0.5 \text{ s} \] ✅ Topun yere düşme süresi 0.5 saniyedir. 👉 Yatayda Aldığı Yol (Menzil):

• Yatay hız \( v_{0x} = 5 \text{ m/s} \) (sabit kalır).
• Yatayda alınan yol \( x = v_{0x} \times t \) formülüyle bulunur.

Değerleri yerine koyarsak:

\[ x = 5 \text{ m/s} times 0.5 \text{ s} \] \[ x = 2.5 \text{ m} \] ✅ Topun yere düşmeden önce yatayda 2.5 metre yol almıştır. 👉 Yere Çarpma Anındaki Düşey Hız:

• Düşey hız \( v_y = v_{0y} + g \times t \) formülüyle bulunur. İlk düşey hız \( v_{0y} = 0 \) olduğu için:

\[ v_y = 0 + 10 \text{ m/s}^2 times 0.5 \text{ s} \] \[ v_y = 5 \text{ m/s} \] ✅ Topun yere çarpma anındaki düşey hızının büyüklüğü 5 m/s'dir.

Bu soru, yatay atış hareketinde ilk hızın değişmesinin düşme süresi ve menzil üzerindeki etkisini anlamamızı sağlar.
👉 Yere Düşme Süresi Analizi:

• Yatay atış hareketinde, cismin yere düşme süresi sadece düşey yüksekliğe ve yer çekimi ivmesine bağlıdır.
• Düşey ilk hız \( v_{0y} = 0 \) olduğu için, düşme süresi \( t \) formülü \( H = \frac{1}{2} \times g \times t^2 \) şeklindedir.
• Bu formülde, yatay hız \( v_x \) bulunmamaktadır.

Dolayısıyla, cismin yatay hızı \( v_x \) veya \( 2v_x \) olması, yere düşme süresini etkilemez. Cismin atıldığı yükseklik \( H \) ve yer çekimi ivmesi \( g \) değişmediği sürece düşme süresi aynı kalır.

✅ Eğer cisim yatay hızını \( 2v_x \) yaparak atılırsa, yere düşme süresi yine \( t \) olur. 👉 Yatayda Alınan Yol (Menzil) Analizi:

• Yatayda alınan yol (menzil) \( X = v_x \times t \) formülüyle bulunur.
• İlk durumda menzil \( X = v_x \times t \) olarak verilmiştir.

İkinci durumda, yatay hız \( v'_x = 2v_x \) ve yere düşme süresi yine \( t \) olduğuna göre, yeni menzili \( X' \) hesaplayalım:

\[ X' = v'_x times t \] \[ X' = (2v_x) times t \] \[ X' = 2 times (v_x times t) \]

İlk durumdaki menzil \( X = v_x times t \) olduğu için, bu ifadeyi yerine koyabiliriz:

\[ X' = 2 times X \] ✅ Eğer cisim yatay hızını \( 2v_x \) yaparak atılırsa, yatayda aldığı yol \( 2X \) olur.