Bu yazımızda Sayı Kümeleri Konu Anlatımı bulunmaktadır. Konu anlatımını bitirdikten sonra Sayı Kümeleri Soru Çözümleri yazımıza da bakabilirsiniz.
Sayı Kümeleri Ders Notu
a) Doğal sayılar; 0, 1, 2, 3, … elemanlarından oluşur. Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir.
N = {0, 1, 2, 3, …}
b) Sayma sayıları; 1, 2, 3, … elemanlarından oluşur. Sayma sayıları kümesi N+ ile gösterilir.
N+ = {1, 2, 3, …}
c) Pozitif tam sayılar; 1, 2, 3, … elemanlarından oluşur. Pozitif tam sayılar kümesi Z+ ile gösterilir. Pozitif tam sayılar kümesi ile sayma sayılar kümesi aynı elemanlardan oluşur.
Z+ = {1, 2, 3, …}
d) Negatif tam sayılar; -1, -2, -3, … elemanlarından oluşur. Negatif tam sayılar kümesi Z– ile gösterilir.
Z– = {-1, -2, -3, …}
e) Tam sayılar kümesi; pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfır sayısının birleşiminden oluşur. Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir.
Z = Z+ ∪ Z– ∪ {0} dır.
Z={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
f) Rasyonel sayılar; paydası sıfırdan farklı olmak üzere iki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen kesirlerdir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.
şeklinde ifade edilebilir.
- gibi sayılar birer rasyonel sayıdır.
- Tam sayılar paydası 1 olan kesir şeklinde düşünüldüğünden birer rasyonel sayıdır.
gibi. Dolayısıyla Z ⊂ Q olur. - Ondalık gösterim şeklinde yazılan sayılar birer rasyonel sayıdır.
Dikkat: Devirli Ondalık gösterim şeklindeki sayıların rasyonel sayıya çevrilişini hatırlayalım.
g) İrrasyonel Sayılar; rasyonel olmayan gerçek sayılardır. İrrasyonel sayılar kümesi Q’ ile gösterilir.
- İrrasyonel sayılar iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan gerçek sayılardır.
- Köklü ifadeler, kök içerisindeki sayı tamamen kök dışına alınamıyorsa irrasyonel sayılardır.
sayıları birer irrasyonel sayıdır.
Köklü ifadede kök içerisindeki sayı tamamen kök dışına alınabiliyorsa bu sayılar rasyoneldir. - Ondalık kısmı sonsuza kadar devam eden ancak devirli ondalık kesir şeklinde yazılamayan sayılar irrasyonel sayılardır.
π sayısı bu sayılardan biridir. π = 3,141592653589793238… sayısının ondalık kısmında devir bulunmadığından π sayısı iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz. Dolayısıyla π, irrasyonel bir sayıdır.
h) Gerçek (Reel) Sayılar; Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimiyle oluşan sayılardır. Gerçek sayılar kümesi R ile gösterilir.
R = Q ∪ Q’ dür.
- Pozitif gerçek sayılar kümesi R+, negatif gerçek sayılar kümesi R– ile gösterilir.
- Ayrıca, Q ∩ Q’ = Ø dir.
Gerçek Sayılarda Toplama İşleminin Özellikleri
Gerçek Sayılarda Çarpma İşleminin Özellikleri
1) Kapalılık özelliği: a, b ∈ R ise a . b ∈ R dir. Yani, iki gerçek sayının çarpımı yine bir gerçek sayıdır. Dolayısıyla, gerçek sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
2) Değişme özelliği: a, b ∈ R olmak üzere a . b = b . a dır. Yani iki gerçek sayının çarpımında sayılar yer değiştirdiğinde sonuç değişmez. Dolayısıyla gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
3) Birleşme özelliği: a, b, c ∈ R olmak üzere, (a . b) . c = a . (b . c) dir. Yani üç (veya daha fazla) sayının çarpımında sayılar farklı ikili gruplar halinde çarpıldığında sonuç değişmez. Dolayısıyla gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
4) Etkisiz eleman: a ∈ R olmak üzere, a . 1 = 1 . a = a dır. Dolayısıyla gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanı 1 dir.
5) Yutan eleman: a ∈ R olmak üzere, a. 0 = 0 . a = 0 dır. Dolayısıyla gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı 0 dır.
6) Ters eleman: a ∈ R, a±0 olmak üzere,
Dolayısıyla gerçek sayılar kümesinde sıfırdan farklı her elemanın çarpma işlemine göre tersi vardır.
7) Dağılma özelliği: a, b, c ∈ R olmak üzere,
a . (b + c) = a . b + a . c
(b + c) . a = b . a + c . a olur.
Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma Özelliği vardır.