✅ 7. Sınıf Matematik: İspat testleri Test Çöz
✅ 7. Sınıf Matematik: İspat testleri Testi
Ahmet, $ \frac{2}{5} + \frac{1}{3} $ işleminin sonucunu bulmak için aşağıdaki adımları takip etmiştir:
1. Adım: Paydalar 15 olacak şekilde genişletilir: $ \frac{2 \times 3}{5 \times 3} + \frac{1 \times 5}{3 \times 5} $
2. Adım: Kesirler yeniden yazılır: $ \frac{6}{15} + \frac{5}{15} $
3. Adım: Paylar ve paydalar toplanır: $ \frac{6 + 5}{15 + 15} $
4. Adım: Sonuç $ \frac{11}{30} $ olarak bulunur.
Buna göre Ahmet, ilk hatayı kaçıncı adımda yapmıştır?
B) 2. Adım
C) 3. Adım
D) 4. Adım
Bir öğrenci $ 4x - 6 = 14 $ denkleminin çözümünü adım adım ifade etmiştir:
1. Adım: $ 4x = 14 + 6 $
2. Adım: $ 4x = 20 $
3. Adım: $ x = 5 $
Buna göre öğrencinin 1. adımı uygularken kullandığı matematiksel gerekçe aşağıdakilerden hangisidir?
B) Eşitliğin her iki tarafına 6 eklemek
C) Eşitliğin her iki tarafını 4'e bölmek
D) Eşitliğin her iki tarafından 6 çıkarmak
Birbirine paralel iki doğruyu kesen üçüncü bir doğrunun oluşturduğu iç ters açıların ölçülerinin birbirine eşit olduğunu kanıtlamak isteyen bir öğrenci, aşağıdaki açılara ait özelliklerden hangisini doğrudan bu iki doğrudan oluşan açılar için kullanamaz?
A) Yöndeş açıların ölçülerinin eşitliğiB) Ters açıların ölçülerinin eşitliği
C) Üçgenin iç açıları toplamının $ 180^\circ $ olması
D) Komşu bütünler açıların toplamının $ 180^\circ $ olması [TEXT] Birbirine paralel iki doğruyu kesen üçüncü bir doğrunun oluşturduğu iç ters açıların ölçülerinin birbirine eşit olduğunu kanıtlamak isteyen bir öğrenci, aşağıdaki açılara ait özelliklerden hangisini doğrudan bu iki doğrudan oluşan açılar için kullanamaz? [A] Yöndeş açıların ölçülerinin eşitliği [B] Üçgenin iç açıları toplamının $ 180^\circ $ olması [C] Zıt yönlü ters açıların ölçülerinin eşitliği [D] Doğrusal komşu bütünler açıların toplamının $ 180^\circ $ olması
$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ orantısında, içler dışlar çarpımının eşitliği olan $ a \times d = b \times c $ ifadesine ulaşmak için eşitliğin her iki tarafı aşağıdakilerden hangisi ile çarpılmalıdır? ($ b \neq 0, d \neq 0 $)
A) $ a \times c $B) $ b \times d $
C) $ a \times b $
D) $ c \times d $
Elif, $ \frac{1}{2} \times \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{5} \right) $ işleminin sonucunu adım adım hesaplıyor:
1. Adım: $ \left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}\right) $
2. Adım: $ \frac{2}{6} - \frac{4}{10} $
3. Adım: $ \frac{1}{3} - \frac{2}{5} $
4. Adım: $ \frac{5}{15} - \frac{6}{15} = \frac{1}{15} $
Elif'in çözüm adımları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B) İlk hatasını 2. adımda çarpma işlemlerini yanlış yaparak yapmıştır.
C) İlk hatasını 4. adımda tam sayılarda çıkarma kuralını yanlış uygulayarak yapmıştır.
D) Tüm adımlar hatasız tamamlanmıştır.
Bir öğrenci $ 3(x - 2) + 4 = 2x + 5 $ denklemini çözerken aşağıdaki adımları yazmıştır:
1. Adım: $ 3x - 6 + 4 = 2x + 5 $
2. Adım: $ 3x - 2 = 2x + 5 $
3. Adım: $ 3x - 2x = 5 - 2 $
4. Adım: $ x = 3 $
Bu çözüme göre öğrencinin yaptığı hata ve doğrusu aşağıdakilerin hangisinde verilmiştir?
B) 3. adımda hatalıdır; sol taraftaki $ -2 $ eşitliğin sağ tarafına $ +2 $ olarak geçmelidir.
C) 1. adımda hatalıdır; parantez açılırken 3 sadece $ x $ ile çarpılmalıdır.
D) Çözüm tamamen doğrudur, hata yapılmamıştır.
Öğretmen, sınıfta $ n $ kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamının $ (n-2) \times 180^\circ $ olduğunu kanıtlamak için tahtaya şu aşamaları yazmıştır:
I. Çokgenin bir köşesinden diğer köşelerine köşegenler çizilir.
II. Bir köşeden çizilen köşegenler çokgeni $ n-3 $ adet üçgensel bölgeye ayırır.
III. Her bir üçgenin iç açıları toplamı $ 180^\circ $'dir.
IV. Oluşan üçgen sayısı ile $ 180^\circ $ çarpılarak çokgenin iç açıları toplamı $ (n-2) \times 180^\circ $ bulunur.
İspat aşamalarının doğru tamamlanması için hangi maddedeki bilgi düzeltilmelidir?
B) II. madde
C) III. madde
D) IV. madde
Bir ürünün fiyatına önce %10 zam yapılıyor, daha sonra zamlı fiyat üzerinden %10 indirim uygulanıyor. Ürünün son durumdaki fiyatının ilk fiyata göre %1 azaldığını kanıtlamak isteyen bir öğrencinin yapması gereken matematiksel gösterim aşağıdakilerden hangisidir? (Ürünün ilk fiyatı: $ x $)
A) $ x + \frac{10}{100}x - \frac{10}{100}x = x $B) $ x \times \frac{110}{100} \times \frac{90}{100} = \frac{99}{100}x $
C) $ x \times \left(1 + \frac{10}{100} - \frac{10}{100}\right) = x $
D) $ x \times \frac{10}{100} \times \frac{10}{100} = \frac{1}{100}x $
Bir işin tamamlanma süresi ($ t $) ile çalışan eş verimli işçi sayısı ($ k $) arasında ters orantı vardır. İşçi sayısı 2 katına çıkarıldığında işin bitme süresinin yarıya düşeceğinin matematiksel ispatı aşağıdakilerden hangisidir? (Orantı sabiti: $ c $)
A) $ \frac{2k}{t} = c \implies \frac{k}{\left(\frac{t}{2}\right)} = c $B) $ (2k) \times \left(\frac{t}{2}\right) = k \times t = c $
C) $ (2k) + \left(\frac{t}{2}\right) = k + t = c $
D) $ 2k \times t = k \times \frac{t}{2} = c $
$ \frac{1}{3} $ ve $ \frac{1}{2} $ rasyonel sayıları arasında başka bir rasyonel sayının bulunduğunu kanıtlamak isteyen Can, aşağıdaki genişletme işlemlerinden hangisini yaparsa payı tam sayı olan arada bir rasyonel sayıyı doğrudan gösterebilir?
A) Kesirleri 2 ile genişletip $ \frac{2}{6} $ ve $ \frac{2}{4} $ yazarsaB) Kesirlerin paydalarını 6'da eşitleyip $ \frac{2}{6} $ ve $ \frac{3}{6} $ yazarsa
C) Kesirlerin paydalarını 12'de eşitleyip $ \frac{4}{12} $ ve $ \frac{6}{12} $ yazarsa
D) Kesirlerin paylarını toplayıp $ \frac{1+1}{3+2} = \frac{2}{5} $ yazarak bu değeri kenara not ederse
Birbirine paralel iki doğru arasında kalan karşı durumlu (bütünler iç) iki açının ölçüleri toplamının $ 180^\circ $ olduğunu kanıtlamak isteyen Selin aşağıdaki adımları kurguluyor:
1. Adım: Paralel doğrulardan biri üzerindeki $ a $ açısı ile diğer paralel doğru üzerindeki aynı yönlü $ c $ açısının yöndeş açı olduğunu söyler ve $ a = c $ olduğunu belirtir.
2. Adım: $ c $ açısı ile onun yanındaki komşu $ b $ açısının doğru oluşturduğunu söyler.
3. Adım: Buradan $ c + b = 180^\circ $ olduğunu ifade eder.
4. Adım: $ c = a $ eşitliğini bu denklemde yerine yazarak $ a + b = 180^\circ $ sonucuna ulaşır.
Selin'in yaptığı bu ispatla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B) 1. adımda hata yapılmıştır, yöndeş açılar birbirine eşit olamaz.
C) İspat mantıksal olarak doğru ve eksiksizdir.
D) 4. adımda yapılan yerine koyma işlemi matematiksel olarak geçersizdir.
Ahmet, bir kenar uzunluğu $ x $ cm olan kare şeklindeki bir kağıttan, alanı $ 9\text{ cm}^2 $ olan kare bir bölge kesilip çıkarıldığında kalan alanı veren ifadeyi hesaplamak için aşağıdaki işlem adımlarını kurgulamıştır:
1. Adım: Kalan alan parçalanıp birleştirilerek kenar uzunlukları $ (x - 3)\text{ cm} $ ve $ (x + 3)\text{ cm} $ olan bir dikdörtgen elde edilir: $ \text{Alan} = (x - 3) \times (x + 3) $
2. Adım: Dağılma özelliği uygulanır: $ x \times x + x \times 3 - 3 \times x - 3 \times 3 $
3. Adım: İfadeler düzenlenir: $ x^2 + 3x - 3x - 9 $
4. Adım: Zıt işaretli olan $ +3x $ ve $ -3x $ terimleri toplanır ve 0 bulunur.
5. Adım: Sonuç $ x^2 - 9 $ olarak bulunur ve başlangıçtaki kare alandan 9 çıkarıldığı gösterilmiş olur.
Bu ispat sürecinde verilen aşağıdaki yorumlardan hangisi matematiksel olarak yanlıştır?
B) 4. adımda bir sayının ters işaretlisi ile toplamının 0 (yutan eleman) olma özelliği kullanılmıştır.
C) 3. adımda $ x \times x $ ifadesi üslü nicelik olarak $ x^2 $ şeklinde yazılmıştır.
D) 5. adımda ulaşılan $ x^2 - 9 $ ifadesi, kenarı $ x $ olan bir kareden alanı 9 birimkare olan bir bölgenin çıkarıldığını temsil eder. [TEXT] Ahmet, bir kenar uzunluğu $ x $ cm olan kare şeklindeki bir kağıttan, alanı $ 9\text{ cm}^2 $ olan kare bir bölge kesilip çıkarıldığında kalan alanı veren ifadeyi hesaplamak için aşağıdaki işlem adımlarını kurgulamıştır: 1. Adım: Kalan alan parçalanıp birleştirilerek kenar uzunlukları $ (x - 3)\text{ cm} $ ve $ (x + 3)\text{ cm} $ olan bir dikdörtgen elde edilir: $ \text{Alan} = (x - 3) \times (x + 3) $ 2. Adım: Dağılma özelliği uygulanır: $ x \times x + x \times 3 - 3 \times x - 3 \times 3 $ 3. Adım: İfadeler düzenlenir: $ x^2 + 3x - 3x - 9 $ 4. Adım: Zıt işaretli olan $ +3x $ ve $ -3x $ terimleri toplanır ve 0 bulunur. 5. Adım: Sonuç $ x^2 - 9 $ olarak bulunur ve başlangıçtaki kare alandan 9 çıkarıldığı gösterilmiş olur. Bu ispat sürecinde verilen aşağıdaki yorumlardan hangisi matematiksel olarak yanlıştır? [A] 2. adımda çarpmanın toplama ve çıkarma üzerindeki dağılma özelliği doğru biçimde uygulanmıştır. [B] 3. adımda aynı iki değişkenin çarpımı olan $ x \times x $ ifadesi $ x^2 $ olarak üslü gösterilmiştir. [C] 4. adımda kullanılan "0" sayısı toplama işleminin yutan elemanıdır. [D] 5. adımdaki $ x^2 - 9 $ sonucu, başlangıçtaki kare alandan alanı 9 birimkare olan parçanın eksildiğini kanıtlar.
Paralel iki doğru ($ d_1 \parallel d_2 $) arasında kalan açıların oluşturduğu "M kuralı" olarak bilinen bağıntıyı ($ a + b = c $) kanıtlamak isteyen Mert, ispatını aşağıdaki adımlarla planlıyor:
1. Adım: Kırık köşenin bulunduğu noktadan $ d_1 $ ve $ d_2 $ doğrularına paralel olacak biçimde bir $ d_3 $ doğrusu çizilir.
2. Adım: $ d_1 \parallel d_3 $ olduğundan, oluşan üst açı iç ters açılardan dolayı $ a $ açısına eşit olur.
3. Adım: $ d_2 \parallel d_3 $ olduğundan, oluşan alt açı iç ters açılardan dolayı $ b $ açısına eşit olur.
4. Adım: Köşedeki c açısı bu iki parçanın toplamı olduğundan $ c = a + b $ eşitliği elde edilir.
Mert'in arkadaşı Tarık ise 1. adımda çizilen $ d_3 $ doğrusunun $ d_1 $ doğrusuna dik olduğunu iddia ederek ispatı yapmaya çalışmıştır.
Tarık'ın bu iddiası ispatın geçerliliğini nasıl etkiler?
B) İspat geçerliliğini kaybeder; çünkü kuralın her açı değeri için geçerli olduğu genel durumu değil, sadece dik kesişen özel bir durumu varsaymış olur.
C) İspat mantığı değişmez, çünkü paralel doğrulara çizilen her doğru parçası her zaman dik kesşir.
D) İspat hatalı olur; çünkü dik doğru çizildiğinde iç ters açılar özelliğini kullanmak imkansız hale gelir.
Bir su deposunun $ \frac{2}{5} $'i doludur. Bu depoya 30 litre daha su eklendiğinde deponun yarısı ($ \frac{1}{2} $) dolmaktadır. Deponun tam kapasitesini ($ x $) bulmak için aşağıdaki cebirsel adımlar uygulanmıştır:
1. Adım: İlk su miktarı $ \frac{2}{5}x $ şeklinde ifade edilir.
2. Adım: Denklem kurulur: $ \frac{2}{5}x + 30 = \frac{1}{2}x $
3. Adım: Değişkenler bir tarafa toplanır: $ 30 = \frac{1}{2}x - \frac{2}{5}x $
4. Adım: Paydalar eşitlenir: $ 30 = \frac{5}{10}x - \frac{4}{10}x \implies 30 = \frac{1}{10}x $
5. Adım: Eşitliğin her iki tarafı 10 ile çarpılarak $ x = 300\text{ litre} $ bulunur.
Bir öğrenci bu cebirsel çözümü şu sözel ifade ile açıklamıştır:
"Deponun yarısı deponun %50'sidir. Deponun $ \frac{2}{5} $'i ise %40'ına karşılık gelir. Eklenen 30 litre su deponun %50 - %40 = %10'luk kısmını doldurduğuna göre, deponun %10'u 30 litre ise tamamı yani %100'ü 300 litredir."
Öğrencinin yaptığı bu sözel yorum hakkında aşağıdakilerden hangisi en doğrudur?
B) Öğrencinin sözel açıklaması, kesirlerin paydalarını 10'da eşitleyerek elde edilen $ \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10} $ cebirsel işlemi ile birebir aynı matematiksel anlama sahiptir.
C) Öğrenci denklem çözmek yerine tahmin yürüttüğü için bu bir ispat sayılamaz.
D) Sözel açıklama doğru olsa da deponun tamamını 3000 litre olarak bulması gerekirdi. [TEXT] Bir su deposunun $ \frac{2}{5} $'i doludur. Bu depoya 30 litre daha su eklendiğinde deponun yarısı ($ \frac{1}{2} $) dolmaktadır. Deponun tam kapasitesini ($ x $) bulmak için aşağıdaki cebirsel adımlar uygulanmıştır: 1. Adım: İlk su miktarı $ \frac{2}{5}x $ şeklinde ifade edilir. 2. Adım: Denklem kurulur: $ \frac{2}{5}x + 30 = \frac{1}{2}x $ 3. Adım: Değişkenler bir tarafa toplanır: $ 30 = \frac{1}{2}x - \frac{2}{5}x $ 4. Adım: Paydalar eşitlenir: $ 30 = \frac{5}{10}x - \frac{4}{10}x \implies 30 = \frac{1}{10}x $ 5. Adım: Eşitliğin her iki tarafı 10 ile çarpılarak $ x = 300\text{ litre} $ bulunur. Bir öğrenci bu cebirsel çözümü şu sözel ifade ile açıklamıştır: "Deponun yarısı deponun %50'sidir. Deponun $ \frac{2}{5} $'i ise %40'ına karşılık gelir. Eklenen 30 litre su deponun %50 - %40 = %10'luk kısmını doldurduğuna göre, deponun %10'u 30 litre ise tamamı yani %100'ü 300 litredir." Öğrencinin yaptığı bu sözel yorum hakkında aşağıdakilerden hangisi en doğrudur? [A] Sözel açıklama hatalıdır, çünkü kesirli denklemler yüzde kavramına dönüştürülemez. [B] Sözel açıklama ve cebirsel çözüm matematiksel olarak tam bir örtüşme gösterir; $ \frac{1}{10} $ kesri ile %10 ifadesi aynı niceliktir. [C] Sözel açıklama denklemin 3. adımını doğrular ancak 4. ve 5. adımlarını geçersiz kılar. [D] Öğrenci doğrudan sonucu tahmin ettiği için yaptığı açıklama mantıksal bir ispat oluşturmaz.
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-ispat-testleri/testler