Olasılık fonksiyonu nedir?

E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme (kuvvet kümesi) K olsun.
P : K → [0, 1] fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu, P(A) görüntüsüne de A olayının olasılığı denir.

A ⊂ E ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(E) = 1
A, B ⊂ E ve A ∩ B = ∅ ise
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması deneyini inceleyelim.
E = {Y, T} örnek uzay ve K = {∅, {Y,}, {T}, {Y, T}} kuvvet kümesidir.
A olayının olma olasılığı da P(A) dır.
P(∅) = 0 ∈ [0, 1]
P(Y) = 1/2 ∈ [0, 1]
P(T) = 1/2∈ [0, 1]
P(Y, T) = P(E) = 1 ∈ [0, 1]
P(Y ∪ T) = P(Y) + P(T) = 1/2 + 1/2 = 1 olduğundan olasılık fonksiyonunun tanımındaki 3 aksiyom da sağlanır.
Yani, P : K → [0, 1] fonksiyonu bir olasılık fonksiyonudur.

Teorem:
A, B ⊂ E ve P bir olasılık fonksiyonu ise
a. P(∅) = 0
b. A ⊂ B ise P(A) ≤ P(B)
c. A′ = E – A ise P(E) = P(A) + P(A′) = 1
d. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) dir.