Gerçek sayılar konu anlatımı

Gerçek sayılar konu anlatımı

Doğal Sayılar: N = {0, 1, 2, 3, …} kümesinin elemanlarının her birine doğal sayı denir. En küçük doğal sayı sıfırdır.



Sayma Sayıları: Doğal sayılar kümesinden sıfırın çıkartılması ile elde edilen kümeye sayma sayıları kümesi denir ve N+ ile gösterilir. N+ = {1, 2, 3, 4, …}

Örnek: x ve y doğal sayılar olmak üzere x + y = 7 olduğuna göre 3x + 2y toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Çözüm: 3x + 2y = x + 2x +2y = x + 2.(x + y) = x + 2.7 =x +14
Sonuç x’ e bağlı olduğu için x’e alabileceği en küçük değeri vermemiz gerekir. X doğal sayı olduğundan x= 0 seçersek x + 14= 0 + 14 = 14 olur.

Tam Sayılar: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} kümesinin elemanlarının her birine tam sayı denir. Tam sayılar kümesi, pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırın birleşiminden oluşur.
Z+ = {1, 2, 3, 4, ….} ve Z = {…, -3, -2, -1} olmak üzere Z = Z+∪ Z ∪ {0}
n ∈ Z olmak üzere 2n+1 genel ifadesiyle belirtilen tam sayılara tek sayı, 2n genel ifadesiyle belirtilen tam sayılara da çift sayı denir.
Ç = {…, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …} ve T= {…, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, …}
Her doğal sayı aynı zamanda tam sayı olduğu için doğal sayılar kümesi tam sayılar kümesinin alt kümesidir. (N ⊂ Z )



Örnek: a ile b birer tam sayı ve a + b = 14 ise a.b ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır.
Çözüm: Toplamları sabit olan iki gerçek sayının çarpımlarının en büyük olabilmesi için sayıların bir birine yakın seçilmesi gerekir. Toplamları 14 olan birbirine yakın iki sayı 7 ve 7 dir.
a.b en fazla 7.7’den 49 olur.

Örnek: a ile b birer negatif tam sayıdır. a.b = 7 ve b – c = -3 olduğuna göre, a + b + c toplamını bulunuz.
Çözüm: a.b = 7 olduğuna göre (a = -7 ve b = -1) veya ( a = -1 ve b = -7) dir.
b = -1 ve b – c = -3 için -1 – c = -3, -c = -2 ve c =2 olur. 2 negatif tam sayı olmadığı için c 2 olamaz.
b = -7 ve b – c = -3 için -7 – c = -3, – c = 4 ve c = -4 tür. Buna göre a + b + c = (-1) + (-7) + (-4) = -12 olur.

Rasyonel Sayılar: a, b tam sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b ifadesine rasyonel sayı ya da kesir denir. a ya kesrin payı, b ye de paydası denir. Rasyonel sayılar kümesi Q sembolü ile gösterilir.

İrrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan gerçek sayılara irrasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. İrrasyonel sayılar a/b şeklinde yazılamazlar.



Gerçek (Reel) Sayılar: Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşiminden oluşan kümeye gerçek sayılar kümesi denir ve R ile gösterilir. R = Q ∪ Q

  • Her sayma sayısı bir doğal sayıdır.
  • Her doğal sayı bir tam sayıdır.
  • Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.
  • Her rasyonel sayı bir gerçek sayıdır.
  • Her irrasyonel sayı bir gerçek sayıdır.

Gerçek Sayılarda Toplama İşleminin Özellikleri

Kapalılık Özelliği: İki gerçek sayının toplamı daima gerçek sayı olduğu için gerçek sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

Değişme Özelliği: a ve b gerçek sayıları için a + b = b + a olduğundan gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.



Birleşme Özelliği: a, b ve c birer gerçek sayı olmak üzere (a + b) + c = a + (b + c) olduğundan gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

Etkisiz Eleman Özelliği (Birim Eleman): a gerçek sayısı için a + 0 = 0 + a = a olduğundan gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim) elemanı sıfırdır.

Ters Eleman özelliği: a gerçek sayısı için a + (-a) = (-a) + a = 0 olduğundan gerçek sayılar kümesinde her elemanın tersi vardır. Örneğin 5’in toplama işlemine göre tersi -5, -7’nin toplama işlemine göre tersi 7 dir.

Gerçek Sayılarda Çarpma İşleminin Özellikleri

Kapalılık Özelliği: İki gerçek sayının çarpımı daima gerçek sayı olduğu için gerçek sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

Değişme Özelliği: a ve b gerçek sayıları için a . b = b . a olduğundan gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

Birleşme Özelliği: a, b ve c birer gerçek sayı olmak üzere (a . b) . c = a . (b . c) olduğundan gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

Etkisiz Eleman Özelliği (Birim Eleman): a gerçek sayısı için a . 1 = 1 + a = a olduğundan gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı 1 dir.

Ters Eleman özelliği: a gerçek sayısı için a . (1/a) = (1/a) . a = 1 olduğundan gerçek sayılar kümesinde her elemanın tersi vardır. a sayısının çarpma işlemine göre tersi 1/a dır. Örneğin 5’in çarpma işlemine göre tersi 1/5, -7’nin çarpma işlemine göre tersi -1/7, 2/5 in çarpma işlemine göre tersi de 5/2 dir.

Örnek: 2/3 sayısının toplama işlemine göre tersi a, çarpma işlemine göre tersi b olduğuna göre a + b kaçtır.
Çözüm: 2/3 sayısının toplama işlemine göre tersi -2/3 olduğundan a = -2/3 ve çarpma işlemine göre tersi 3/2 olduğundan b = 3/2 dir. Buna göre, a + b = -2/3 + 3/2 = -4/6 + 9/6 = 5/6

 

Etiketler:

Yorumlar

Henüz yorum yapılmamış.

Yorum Yaz